为什么不能在加时赛中抛硬币


当职业足球联盟在淘汰赛或者奖杯争夺赛的比赛中出现平局的时候就会进入加时赛,两支球队轮流进行罚点球直到打破平局,这时候就用投硬币来决定哪支球队先罚点球。类似的,当在美国的国家职业橄榄球联盟(National Football League (NFL))比赛出现平局进入加时赛的时候,抛硬币也被用来决定在加时赛中哪支球队先进攻、哪支球队先防守。

在这两种运动中,我们可以说,抛硬币是一种有缺陷的做决定的机制,它可以显著地影响到输赢的结果。因为作者对于美式橄榄球比赛更加熟悉,本文就集中讨论这一运动,但是我们会在之后回到足球的情形分析中。

职业橄榄球联赛采用猜硬币的办法决定谁进攻谁防守。图片由Pierre-Selim提供

NFL中的问题

在NFL在加时赛中用投掷硬币来决定谁发球谁接球的做法在投掷之前看起来非常的公平,但是投掷之后就出现问题了。尽管投掷硬币的结果是公平的,两支球队获胜的可能性相同,掷硬币之后猜对的一方享有明显的优势,他们不约而同的选择接球来进行防守。这样做,在1994到2011的所有赛季中,接球的队伍赢得了加时赛接近60%的胜率,其中34%赢在了开局。

从2012赛季开始,NFL试着改善这一问题,采用射门得分排除法:防守队在第一波进攻中必须通过达阵(touchdown)得分(6分)而赢得比赛,而不是像之前只需要通过射门得分(3分)就可以获胜。也就是必须达阵才能立刻赢得比赛。但是结束第一波进攻后,比赛或许会因为立刻死亡而结束,也就是第一个得分的队伍会胜出比赛。

当这一规则应用在2011-2012的季后赛时,两场平局的比赛均由猜对硬币的队伍获胜。在2012-2013赛季,出现了23场加时赛(相当于总比赛场数的8%),其中一场以平局结束。在目前进行过的采用这一规则的24场非平局结果的加时赛中,尽管采用了射门得分排除法,其中16场(也就是2/3)由防守队获得,8场(也就是1/3)由进攻队获得。换句话说,猜对投掷硬币的球队平均来说有2/3的机会赢得加时赛。

开局线报价:一个双赢的策略

我们相信需要一个更加激进的解决方案来排除这种不公平的机会。我们建议的规则使得球队相对于让对方来扮演自己的角色来说更加满意又自己来扮演这个角色。

一个规则称为公平的,假如这个规则下的每支球队,不论在加时赛开始的时候是进攻队还是防守队,更愿意扮演自己的角色而不是对方的角色。在这种情形下,每支球队都认为他们比对手处于更加优势的位置。

这怎么可能呢?我们的解决方案基于一个与买卖交易相同的原理,在一宗交易中,买家和卖家通过达成商品价格的协议而得到相同的满意度。因为双方的偏好不同----买家更加愿意得到商品而不是金钱,而卖家却更愿意得到金钱而不是商品----交易达成了一个双赢的局面。

不是在商品价格上讨价还价,我们建议球队对开局的场线位置进行议价。不像通常的加时赛的开场,取而代之的是,开场是在一个特定的码线处开始。码线的位置由双方球队的报价的平均而得到,报价低(它意义将很快会变得明确)的球队作进攻方,报价高的球队作防守方。这一结果使得,相对于处于对方的位置上来说,双方球队都同等程度都更加满意现处的位置。

为了进行说明,假设球队A开价是20码线,这意味着
• 作为进攻方,他们希望从自己的20码线开始,使得他们得带球过80码来得分;
• 作为防守方,他们希望可以从对方的20码线开始,使得对手要带球过80码才可以得分。
我们称这个为球队A的无差别点,因为从己方的20码线开始进攻和从对方的20码线开始防守,在这一点上他们认为是己方赢得比赛的机会是均等的(尽管不一定是50-50的机会---这取决于队伍本身的相对水平)。我们假定每支球队都有一个无差别点,这个无差别点在面对不同的对手来的时候可能会有所不同(取决于双方的优势与劣势)。

为了继续说明,假设球队B的无差别点是30码线。平均两队报价是25码线,从离开时,球队A扮演进攻方(因为它给出了低报价20码)球队B将扮演防守方。

当比赛开始的时候,注意到球队A,作为进攻队,距离B队的得分线比自己开出的进攻无差别点20码线近了5码,因为他们现在需要带球的距离是75码而不是原来所报价的80码。同样的,球队B的防守起始线比起他的防守无差别点30码线远了5码,因为他们需要阻止的进攻距离是75码而不是原来的70码。

因为每支球队都得到比他们报价而言相同的收益(5码)。这一方案对于双方来说不仅仅这是一个双赢的,而且是公平的---每支球队都同等程度的更加满意现在的位置而不是对手的位置:如果球队A扮演球队B的角色,他们就得从对方的25码线开始防守,然而它更加愿意从对方的20码线就开始防守。类似地,球队B也更满意自己的位置而不是球队A的位置,这一差距也是5码。

它更有利于最诚实的一方

一支球队可不可以单方面偏离自己的真正的无差别点而报一个不真诚的无差别点从而获益?假设球队A不诚实地报价$x$,这里$20

下面假定报价$x>30$。那么球队A就要扮演防守方,更加糟糕的是,这样做会使得球队B的移动距离小于70码就能得分。不仅仅是球队B会比自己的无差别点表现的好,球队A会更加中意球队B的位置,因为30+远远大于球队A的无差别点20码。

显然,风险规避,或甚至风险中性的球队有诚实报价的动机,因为任何方向的偏离---某个方向偏离一定的数值(例如球队A进行低报价),或者另外一个方向偏离了较大的数值(例如球队A的报价比真实的数值超过了10码)---都会带来坏处。因此,在报价游戏中,诚实似乎是一个强制的策略。

报价在足球比赛中的应用

足球比赛中罚点球是从距离球门11米的罚球线上踢出的。它们通常出现在淘汰赛或者奖杯争夺赛中,如果打满90分钟和加时仍然平局,就需要通过点球决胜负。

由投掷硬币决定由哪支球队先罚点球,然后两队轮流罚点球直到各罚满5球。如果这5球之后仍然没有任何一支球队取得先机,就要进行到下一步,在这一步中,两支球队轮流罚球,每次罚一球,直到有一队得分领先而赢得比赛。

菲利普•拉姆在2012欧冠赛总决赛中罚球得分。在足球比赛中投硬币被用来决定哪支球队在点球大战中首先罚球。图片来自Markus Unger.

就如在NFL中,猜对硬币的一方有优势:统计暗示在点球大战中首先罚球的球队获胜的几率是60%,相比后罚球的球队拥有3:2或者说50%的优势。但是通过两队对于罚球线的报价,将罚球线定在两个报价的平均值上,然后报价高的球队获得先罚球的奖励,这一做法是有问题的,因为太接近球门(比如说6米或者更近)或许不是优势反而是劣势。这是因为守门员可以比较容易的通过移动来防守来自这么短距离的射门,尽管他或者她的反应时间要变得短了。相应的,我们建议报价高的球队先罚球,而报价低的球队将会被要求从标准的11米开始罚球。

是不是两支球队都会选择报价11米?显然不是,因为他们会愿意去报价多1厘米而不影响他们的罚球得分的机会。结果就是,报价肯定会以某一队的大于11米而结束。不明朗的是,比11米大多少才能让本球队在罚球的先后顺序上无差别。

似乎显而易见的是这个计算将依赖于本球队以及对手的水平,罚球队员、守门员的技术。但不管每支球队的计算如何,报价将会帮助提升公平的竞赛环境。

结论

我们关于橄榄球加时赛中开场码线报价,或者足球点球大战中罚球线报价的建议,消除了投掷硬币的偶然因素。这使得比起对方球队的选择来说,每支球队都相同程度的更加满意他们自己的选择。

报价竟会给两种运动都添加新的策略元素:在橄榄球比赛中它会制造一个悬念--哪支球队会扮演进攻方和防守方,起始线在什么地方;在足球比赛中哪支球队先罚点球,罚球线在哪里。虽然橄榄球和足球的球迷会争论说报价并不是一个“纯粹”的竞赛测试,但投掷硬币也不是。在所有的优点中突出的一点,报价会使得球队对他们自己的选择负责而不是让他们将自己的糟糕表现怪罪于坏运气。

运动在向更加公平不断的发展。证据是全美篮球协会(NBA)在1979年设立的三分线来奖励远投所需要的额外技巧,NFL由1979年开始采用的两分转换来双倍奖励通过奔跑或者投掷而不是踢球得分。在足球比赛中,1970年引进的红黄牌警告使得球员和教练对于裁判的判决更加明白,2012年引入的球门线科技用于判定足球是否穿过球门平面,这些都是这一运动中的发明的例子。我们相信橄榄球以及足球比赛中加时赛规则的发展演化也是如此。

关于作者

Steven Brams 是纽约大学政治学教授。他是《数学与民主》Mathematics and democracy: Designing better voting and fair-division procedures(普林斯顿大学出版社,2008)《博弈论和人文学》Game theory and the humanities,(麻省理工学院出版社2011)的作者。他也是Plus上几篇关于博弈论、公平分配和选举的文章的作者。Zeve Sanderson是纽约大学修读政治的本科学生。

原文链接: http://plus.maths.org/content/toss-overtime
作  者: Steven J. Brams 和 Zeve N. Sanderson
翻  译: 李玉田,香港浸会大学数学系助理教授
校  对: 汤涛,香港浸会大学数学讲座教授


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