一周一定理No.2 求一术与方程术


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刘徽在《九章算术注》中提出了对矩阵同时做行列变换求解方程组的方法.


在本栏目第1期一周一定理No.1 中国剩余定理,我们向大家介绍了著名的中国剩余定理,并引发了读者的热烈反响,感谢大家对本栏目的鼓励支持,以及对具体内容的建议和评论。今天我们想给大家介绍一下求一术及其推广方程术。前者在中国剩余定理的介绍中已经出现,我们先简单回顾一下。


前文一周一定理No.1 中国剩余定理所叙述的中国剩余定理,其关键思想有两个:一是通过(线性方程组的)叠加原理将一个一般的同余方程组分解为多个特殊的同余方程组;而是将特殊的同余方程组(通过换元)转化为一次同余方程的求解,而后者可以用求一术来求解。


按照古人的叙述(注,下述表述与一周一定理No.1 中国剩余定理中的表述略有不同,但实质一样,且更与历史相符),求一术可以表述如下:


求解方程


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的整数解的求一术:


首先写出矩阵


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然后对第一行两个元素辗转相除,并将对应的操作应用于第二行(用矩阵的语言说,相当于对A做初等列变换),直至第一行的两个元素都变成不能更小的正整数,此时:若此两个数中有一个数是1,则它下方的那个数是(♣)的一个特解;否则,(♣)无整数解。此外,若已得到(♣)的一个特解,比方说,


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那么,(♣)的通解为


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我们举个例子。


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求一术可以推广成下述求解丢番图方程的方程术

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作为例子,我们来求解“猴子分桃”问题中的丢番图方程,参见张景中院士:五猴分桃问题


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:我们不打算证明方程术,它本质上就是解线性方程组的矩阵变换方法,这一方法最早记录在《九章算术》中,其中第八章就叫“方程”。有兴趣的读者,可以参见从射雕到九章——在天大理学院物理系的通俗报告




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